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データサイエンティストを目指す方のやり直し数学「微分・積分の基礎」 研修コースに参加してみた

今回参加した研修コースは データサイエンティストを目指す方のやり直し数学「微分・積分の基礎」 です。

いつかレポートすることになるのではないかと、戦々恐々としていましたが、やってきました。。

n年ぶりの微分・積分です。(nは2ケタとだけ申し上げておきます)

機械学習の記事で数式が出るたびに、そっ閉じしていた私ですが、参加してみると、なぜ微分・積分を使うのかわかり、丁寧にステップを踏んで解説頂いたので、n年ぶりに “わかる、わかるぞー” という感覚になりました!

機械学習で数式を見るたびに、「いつかやる」と思っていた方にはとてもオススメです!!

 

では、どんな内容だったのかレポートします!!

 

/* もし理解が間違っているところなどあれば、ぜひぜひお知らせください。
またCMSの表現上、数式がそのままテキストで表現されているところがございます。ご了承くださいませ */

想定している受講者

  • 中学レベルの数学の知識

受講目標

  • 統計学やデータイエンスに必要な数学の基礎スキルのうち、「微分・積分」の知識を身に付ける

講師紹介

Pythonを使ったデータサイエンス入門につづき、 米山 学 さん が登壇されました。

 

米山 学

 

微分・積分のような数学を研修で学ぶのは何か不思議な気がします。

 

今日の内容

  • 微積は数II
    • 会場でも2人だけがやってらっしゃいました
    • やったとしても忘れてる方が多い
  • それほど難しいものは用意してません

データサイエンスと微積

まずは簡単にデータサイエンスと微積の関係を触れました。

  • データサイエンスとは
    • 統計学
  • データサイエンスに必要な数学
    • 微積
    • 線形代数
      • 行列・ベクトル
    • 確率/統計
      • 45歳以上の方は、実は、統計を数学でやっていない (!!)

 

このうち、今日は微積をやります。ドキドキ。。

 

統計について

  • 統計は2つある
    • 記述統計学
      • データの特徴を出す
    • 数理統計学
      • データの分析や予測/推測
      • データサイエンスで使うのはこっち
      • 推測統計学 と 多変量解析 にわかれる
        • Deep Learning は多変量解析
  • 機械学習
    • 予測モデルを作る
      • x -> y
      • 1 -> 2 / 2 -> 4 / 3 -> 6 から -> が何かを探る
    • x -> y のような入出力のデータセットを教師データと言う
  • 予測モデルの表現
    • 関数として表現される
    • グラフ (直線/曲線) で表現できる
    • 値の予測に使うのが微分
    • 予測値が発生する確率に使うのが積分
    • 機械学習のアルゴリズムでは単純な微積は使ってないが、その応用
  • 微分とは
    • 曲線の傾きを求める
  • 積分
    • 特に曲線の面積を求めるのが積分の役割

 

 

なるほど、予測モデルとは関数で表現するのですね。(まったくの素人…)

 

微分とは

  • f(x) -> (微分) -> f'(x) を求めるというのが数学上の定義
  • この f'(x) を導関数という
    • 微分係数を一般化するための関数
    • 微分係数とは平均変化率の極限値

 

 

米山さんにホワイトボードを使って図示されて、わかるようになってきました。

 

平均変化率の計算

直線のグラフでxが1増加すると、yがどれぐらい増加するのか、それを表したのが平均変化率です。

 

  • 平均変化率の公式 

 

例題

以下の関数において、x の値が 2 から 4 まで変化する場合の平均変化率を求めよ。またそれぞれのグラフを記述せよ。

  1. y=x
  2. y=2x
  3. y=x2

 

平均変化率の極限値

では、曲線における、ある1点の平均変化率を求めるにはどうするとよいのでしょう。
そこで出てくるのが極限値です。

  • y=f(x) において、 x の値を限りなく a に近づけた場合に f(x) の値が限りなく b に近づくこと
  • この b を「極限値」(limit)と呼ぶ
  • 極限値を limit と呼ぶ
  • 次のように表される 

 

例題

次の極限値を求めよ

 

微分係数で傾きを求める

微分係数は 特定の値 における傾きを出すものです。

  • 微分係数は平均変化率の極限値とも考えられる
  • 平均変化率の公式から考える
  • グラフにするとわかりやすい

 

 

  • 微分係数の公式

    • 慣習的に 増加した値 を h とする

 

例題

関数 f(x)=-x2-4x+3 における微分係数 f'(1) を求めよ。

 

導関数

微分係数がある特定の値における傾きだったのに対して、どの値でも微分係数が求まる、というのが導関数です。

  • 導関数を求めることを「微分する」という
  • どんな点を取り出しても傾きがわかる「汎用的な関数」
  • 導関数を求める基本公式 

 

例題

関数 f(x)=-x2-4x+3 を微分せよ。

いやぁ、すごいですね、導関数。
高校のときに、もうちょっとやっていればよかったと思います。。(当時はまったくモチベーションがわかなかった…)

ちなみに、導関数の話を聞きながら、ちょっと再帰的だなぁと思いました。
なお、わたしは再帰、苦手です。。

(さらに、ちなみに再帰はプログラマの適性を測るときに使えるそうです…察し)

積分

今度は微分で求めた予測値が、どれぐらいの確率で当たるのか、それを求めるのが積分です。
ちなみに、これを書きながらお天気の降水確率っぽいな、と思いました。 (小並感)

  • 微分したものをもとに戻すのが積分
  • 不定積分と定積分がある
    • x の値を定数でやるのが 定積分
    • x の値を変数でやるのが 不定積分
  • 積分を使うと、a の値が決まったときに b の値が定まる範囲 = 面積 が求められる

 

 

不定積分

  • 不定積分の関係式 
  • ある関数 f(x) の不定積分(原始関数)の1つを F(x)
  • C は定数項で「積分定数」という
  • 記号 ∫ はインテグラルと読む
  • dx は “xで積分する” という意味

 

  • 不定積分の基本公式

 

例題

次の不定積分を求めよ。

 

定積分

  • 定積分の定義 F'(x) = f(x) のとき 
  • a -> b の値が変化したときの面積を求める
    • 値が求まる
    • 不定積分は関数が求まる

 

例題

次の定積分を求めよ。

 

この定積分で -1 から 2 まで値が変化したときの (x=0との) 面積が求まりました

 

グラフ上の関数と面積

何らかの関数やx軸との面積の求め方を学習しました。

 

例題

曲線 y=3x2 と x 軸、直線 x=2, x=5 で囲まれる面積 S を求めよ

 

例題

2曲線 y=x2+1, y=-x2+x+4 で囲まれる面積 S を求めよ

なお、実際の機械学習はもっとややこしい微分・積分を使っていて、3次元の微分 (偏微分) が出てくるそうです。(お、おう。)

 

この面積の求め方を学習したところで、このコースは修了しました。

まとめ

このコースでは機械学習の基礎となる簡単な微分・積分について、どう使っているのか、どう計算するのか、学習しました。

n年ぶりに微分と積分をやったのですが (n年前は挫折して諦めた) 、改めてやってみると、とても面白いものでした。久しぶりに、わかるという、心地よい感覚がありました。

これで自分の子どもたちにも微積をやるモチベーションを伝えられますw (教えられる訳ではない)。

ちなみに、私の理解の整理と確認を助けてくれたチームの大石くんにはとても感謝です。ありがとう!!!

数式出てくるたびに、そっ閉じしている方にはとてもオススメです !!!

 

 

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